Mittelwert vs. Median

Mittelwert (oder Durchschnitt) und Median sind statistische Begriffe, die eine ähnliche Rolle für das Verständnis der zentralen Tendenz einer Reihe statistischer Bewertungen spielen. Während ein Durchschnitt traditionell ein beliebtes Maß für einen Mittelpunkt in einer Stichprobe war, hat er den Nachteil, dass ein einzelner Wert im Vergleich zum Rest der Stichprobe zu hoch oder zu niedrig ist. Aus diesem Grund wird ein Median manchmal als besseres Maß für einen Mittelpunkt verwendet.

Vergleichstabelle

Vergleichstabelle Mittelwert gegen Median
Bedeuten Median
DefinitionDer Mittelwert ist der arithmetische Durchschnitt einer Reihe von Zahlen oder Verteilungen. Es ist das am häufigsten verwendete Maß für die zentrale Tendenz einer Reihe von Zahlen.Der Median wird als numerischer Wert beschrieben, der die obere Hälfte einer Stichprobe, eine Population oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von der unteren Hälfte trennt.
AnwendbarkeitDer Mittelwert wird für Normalverteilungen verwendet.Der Median wird im Allgemeinen für verzerrte Verteilungen verwendet.
Relevanz für den DatensatzDer Mittelwert ist kein robustes Werkzeug, da er weitgehend von Ausreißern beeinflusst wird.Der Median ist besser geeignet, um verzerrte Verteilungen bei zentraler Tendenz abzuleiten, da er viel robuster und sinnvoller ist.
Wie man rechnetEin Mittelwert wird berechnet, indem alle Werte addiert und diese Punktzahl durch die Anzahl der Werte dividiert werden.Der Median ist die Zahl, die genau in der Mitte des Wertesatzes gefunden wird. Ein Median kann berechnet werden, indem alle Zahlen in aufsteigender Reihenfolge aufgelistet und dann die Zahl in der Mitte dieser Verteilung lokalisiert werden.

Definitionen von Mittelwert und Median

In Mathematik und Statistik ist der Mittelwert oder das arithmetische Mittel einer Zahlenliste die Summe der gesamten Liste geteilt durch die Anzahl der Elemente in der Liste. Bei der Betrachtung symmetrischer Verteilungen ist der Mittelwert wahrscheinlich das beste Maß, um zu einer zentralen Tendenz zu gelangen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie und -statistik ist ein Median die Zahl, die die obere Hälfte einer Stichprobe, eine Population oder eine Wahrscheinlichkeitsverteilung von der unteren Hälfte trennt.

Wie man rechnet

Der Mittelwert oder Durchschnitt ist wahrscheinlich die am häufigsten verwendete Methode zur Beschreibung der zentralen Tendenz. Ein Mittelwert wird berechnet, indem alle Werte addiert und diese Punktzahl durch die Anzahl der Werte dividiert werden. Das arithmetische Mittel einer Stichprobe

ist die Summe der Stichprobenwerte geteilt durch die Anzahl der Elemente in der Stichprobe:

Der Median ist die Zahl, die genau in der Mitte des Wertesatzes gefunden wird. Ein Median kann berechnet werden, indem alle Zahlen in aufsteigender Reihenfolge aufgelistet und dann die Zahl in der Mitte dieser Verteilung lokalisiert werden. Dies gilt für eine Liste mit ungeraden Zahlen. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es keinen einzelnen Mittelwert, daher ist es üblich, den Mittelwert der beiden Mittelwerte zu verwenden.

Beispiel

Nehmen wir an, es gibt neun Schüler in einer Klasse mit den folgenden Bewertungen für einen Test: 2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 83. In diesem Fall ist die durchschnittliche Bewertung (oder der Mittelwert ) die Summe aller Punkte geteilt durch neun. Dies ergibt 144/9 = 16. Beachten Sie, dass 16 zwar der arithmetische Durchschnitt ist, jedoch durch die ungewöhnlich hohe Punktzahl von 83 im Vergleich zu anderen Punktzahlen verzerrt wird. Fast alle Punktzahlen der Schüler liegen unter dem Durchschnitt. Daher ist in diesem Fall der Mittelwert kein guter Vertreter der zentralen Tendenz dieser Stichprobe.

Der Median ist andererseits der Wert, bei dem die Hälfte der Bewertungen darüber und die Hälfte der Bewertungen darunter liegt. In diesem Beispiel ist der Median also 8. Es gibt vier Werte unter und vier über dem Wert 8. 8 repräsentiert also den Mittelpunkt oder die zentrale Tendenz der Stichprobe.

Vergleich von Mittelwert, Median und Modus zweier logarithmischer Normalverteilungen mit unterschiedlicher Schiefe.

Nachteile von arithmetischen Mitteln und Medianen

Mean ist kein robustes Statistikwerkzeug, da es nicht auf alle Verteilungen angewendet werden kann, sondern leicht das am weitesten verbreitete statistische Werkzeug ist, um die zentrale Tendenz abzuleiten. Der Grund, warum der Mittelwert nicht auf alle Verteilungen angewendet werden kann, liegt darin, dass er durch Werte in der Stichprobe, die zu klein bis zu groß sind, übermäßig beeinflusst wird.

Der Nachteil des Medians ist, dass es theoretisch schwierig ist, damit umzugehen. Es gibt keine einfache mathematische Formel zur Berechnung des Medians.

Andere Arten von Mitteln

Es gibt viele Möglichkeiten, die zentrale Tendenz oder den Durchschnitt einer Reihe von Werten zu bestimmen. Der oben diskutierte Mittelwert ist technisch gesehen der arithmetische Mittelwert und die am häufigsten verwendete Statistik für den Durchschnitt. Es gibt andere Arten von Mitteln:

Geometrisches Mittel

Das geometrische Mittel ist definiert als die n- te Wurzel des Produkts von n Zahlen, dh für eine Menge von Zahlen x 1, x 2, ..., x n ist das geometrische Mittel definiert als

Geometrische Mittel sind besser als arithmetische Mittel zur Beschreibung des proportionalen Wachstums. Eine gute Anwendung für das geometrische Mittel ist beispielsweise die Berechnung der zusammengesetzten jährlichen Wachstumsrate (CAGR).

Harmonische Mittel

Das harmonische Mittel ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte. Das harmonische Mittel H der positiven reellen Zahlen x 1, x 2, ..., x n ist

Eine gute Anwendung für harmonische Mittel ist die Mittelung von Vielfachen. Zum Beispiel ist es besser, bei der Berechnung des durchschnittlichen Kurs-Gewinn-Verhältnisses (KGV) das gewichtete harmonische Mittel zu verwenden. Wenn die P / E-Verhältnisse unter Verwendung eines gewichteten arithmetischen Mittels gemittelt werden, erhalten hohe Datenpunkte übermäßig größere Gewichte als niedrige Datenpunkte.

Pythagoreische Mittel

Das arithmetische Mittel, das geometrische Mittel und das harmonische Mittel bilden zusammen eine Reihe von Mitteln, die als pythagoreische Mittel bezeichnet werden. Für jeden Satz von Zahlen ist das harmonische Mittel immer das kleinste aller pythagoreischen Mittel, und das arithmetische Mittel ist immer das größte der drei Mittel. dh harmonisches Mittel ≤ geometrisches Mittel ≤ arithmetisches Mittel.

Andere Bedeutungen der Wörter

Der Mittelwert kann als Redewendung verwendet werden und enthält eine literarische Referenz. Es wird auch verwendet, um arm oder nicht groß zu sein. Der Median in einer geometrischen Referenz ist eine gerade Linie, die von einem Punkt im Dreieck zur Mitte der gegenüberliegenden Seite verläuft.

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